초기하분포와 이항분포(Hypergeometric Distribution and Binomial Distribution)

초기하분포(Hypergeometric Distribution)

: 두 가지 특성값만 가지는 유한 모집단의 모비율을 추정하기 위해 표본비율을 사용할 때, 표본비율의 확률분포(표본분포)를 나타내기 위해 사용. 비복원추출이다.

 

N: 모집단의 크기

D: 특정 속성값의 크기

D/N: 모비율 p

X: 크기가 n인 랜덤표본에서 특정 속성을 갖는 개체의 개수

확률질량함수

ex) 모집단의 크기가 10이고 이 중 찬성자가 6명, 반대자가 4명일 때 크기가 3인 랜덤표본에 찬성자가 2명이 포함될 확률은?
$P(X = 2) = \frac{\binom{6}{2}\binom{4}{1}}{\binom{10}{3}} = 0.5$

 

확률변수 X가 초기하분포를 따를 때

X ~ H(N, D, n)

E(X) = np ( $P(X_i = 0) = \frac{N-D}{N},  P(X_i = 1) = \frac{D}{N}$, E(X_i) = p )

V(X) = $\frac{N-D}{N-1}np(1-p)$

 

이항분포(Binomial Distribution)

: 두 가지 특성값만 가지는 무한 모집단에서 성공률 p를 가지는 베르누이 시행을 n번 시행할 때 성공횟수 분포

 

$X_1, X_2, ... , X_n:$ 서로 독립이고 성공률이 p인 베르누이 확률변수

X = $X_1 + X_2 + ... + X_n:$ n번 시행할 때 성공횟수

 

$X_i \sim B(p)$일 때 X ~ B(n,p)

$p(x) = \binom{n}{x}p^x(1 - p)^{n-x}, x = 0, 1, 2, ... , n$

E(X) = np

V(X) = np(1 - p) = npq

 

초기하의 이항근사
X ~ H(N, D, n) 이고, N → ∞, D/N → p 이면 X ~ B(n, p)에 근사